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一道考研数学题

设函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上连续，且 $f (x) \geq 0$ ， $\int^{0 + \infty} f (x) dx = 1$ 。又设 $F (x) = \int^{0 x} f (t) dt$ ，试证明：

$F (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上是增函数，且 $0 \leq F (x) \leq 1$ ；
$lim x \to + \infty F (x) = 1$ 。

1条回答

证明： $F (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上是增函数，且 $0 \leq F (x) \leq 1$ ：

增函数证明：
由

F (x)

的定义，我们有

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

。
对于任意

x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)

，且

x_{1} < x_{2}

，我们有

F (x_{2}) - F (x_{1}) = \int_{0}^{x_{2}} f (t) d t - \int_{0}^{x_{1}} f (t) d t = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (t) d t

。
由于

f (x) \geq 0

，所以

\int_{x_{1}}^{x_{2}} f (t) d t \geq 0

，即

F (x_{2}) \geq F (x_{1})

。
因此，

F (x)

在

[0, + \infty)

上是增函数。

$0 \leq F (x) \leq 1$

证明：
由于 $f (x) \geq 0$ ，所以 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t \geq 0$ 。
又因为 $\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ ，所以对于任意 $x \in [0, + \infty)$ ，我们有
$F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t \leq \int_{0}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ 。
因此， $0 \leq F (x) \leq 1$ 。

$lim_{x \to + \infty} F (x) = 1 证明：$

由单调有界定理，我们知道增函数 $F (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上有上界1，因此存在极限 $lim_{x \to + \infty} F (x)$ 。

设 $lim_{x \to + \infty} F (x) = L$ ，则对于任意正数 $ϵ$ ，存在正数 $M$ ，当 $x > M$ 时，有 $∣ F (x) - L ∣ < ϵ$ 。

由于F(x)是增函数，所以对于任意x>M，我们有F(M)≤F(x)<L+ϵ。

对上述不等式两边取极限，得到L≤L<L+ϵ。由于ϵ是任意正数，所以我们可以得出L=L（这里主要是为了展示取极限的过程，实际上这一步是显然的）。更重要的是，它说明了对于任意小的ϵ，我们总可以找到足够大的x，使得F(x)与L的差距小于ϵ。

现在，我们利用已知条件 $\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ 来找出 $L$ 的具体值。由于

$lim_{x \to + \infty} F (x) = lim_{x \to + \infty} \int_{0}^{x} f (t) d t = \int_{0}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ ，

所以我们可以得出 $L = 1$ 。

因此， $lim_{x \to + \infty} F (x) = 1$ 。

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